题目内容
A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB 为等腰直角三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
| sin2α+sin2α |
| cos2α+cos2α |
（2）求|BC|2的取值范围．
分析：（1）由任意角的三角函数的定义求出cosα和sinα，代入所求的式子进行运算．
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，求出点B坐标，利用两点间的距离公式计算|BC|2 的值，
根据α的范围求出sinα的范围，进而得到|BC|2的取值范围．
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，求出点B坐标，利用两点间的距离公式计算|BC|2 的值，
根据α的范围求出sinα的范围，进而得到|BC|2的取值范围．
解答：解：（1） 由题意得 cosα=
，sinα=
，∴
=
=
=
=20．
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，故点B的坐标为（cos（α+90°），sin（α+90°）），
点B （-sinα，cosα）．∴|BC|2 =（1+sinα）2+（0-cosα）2=2+2sinα．
∵0＜α＜
，∴0＜sinα＜1，0＜2sinα＜2，2＜2+2sinα＜4，
即|BC|2的取值范围为（ 2，4）．
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| sin2α+sin2α |
| cos2α+cos2α |
| sin2α+2sinαcosα |
| 3cos2α-1 |
=
| ||||||
3•
|
| ||
|
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，故点B的坐标为（cos（α+90°），sin（α+90°）），
点B （-sinα，cosα）．∴|BC|2 =（1+sinα）2+（0-cosα）2=2+2sinα．
∵0＜α＜
| π |
| 2 |
即|BC|2的取值范围为（ 2，4）．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两点间的距离公式得应用，
求点B的坐标是解题的难点和关键．
求点B的坐标是解题的难点和关键．
练习册系列答案
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