Question

8．在△ABC中，tan²$\frac{A}{2}$+tan²$\frac{B}{2}$+tan²$\frac{C}{2}$的最小值是1．

Answer 1

分析 利用柯西不等式可得$（ta{n}^{2}\frac{A}{2}+ta{n}^{2}\frac{B}{2}+ta{n}^{2}\frac{C}{2}）^{2}≥（tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}）^{2}$，结合等式
即$tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=1$得答案．

解答 解：由柯西不等式可得：
$（ta{n}^{2}\frac{A}{2}+ta{n}^{2}\frac{B}{2}+ta{n}^{2}\frac{C}{2}）^{2}≥（tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}）^{2}$
∵A+B+C=π，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{tan（\frac{B}{2}+\frac{C}{2}）}$=$\frac{1-tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}{tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}$，即$tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=1$．
∴$（ta{n}^{2}\frac{A}{2}+ta{n}^{2}\frac{B}{2}+ta{n}^{2}\frac{C}{2}）^{2}≥1$．
∴tan²$\frac{A}{2}$+tan²$\frac{B}{2}$+tan²$\frac{C}{2}$的最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查三角函数的化简求值，训练了柯西不等式及三角恒等式在求最值中的应用，是中档题．