Question

已知数列a_l，a₂…，a₃₀，其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列；a_l0，a₁₁…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁…，a₃₀是公差为d²的等差数列(d>0)．(Ⅰ)若a₂₀=40，求 d；(Ⅱ)试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围;(Ⅲ)请依次类推，续写己知数列，把已知数列推广为无穷数列．再提出同(2)类似的问题,并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

(Ⅰ) d=3   (Ⅱ) a₃₀∈[,+∞） （Ⅲ）(10, +∞)

解析:

(Ⅰ) a_l0=10,  a₂₀=10+10d=40,   ∴d=3            (2分)

(Ⅱ) a₃₀= a₂₀+10d=10(1+d+d²)  (d≠0)                 (4分)

a₃₀=10[(d+)²+],当d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a₃₀∈[,+∞].    (7分)

(Ⅲ) 续写数列: 数列a₃₀，a₃₁,…，a₄₀是公差为d⁴的等差数列   (8分)

一般地,可推广为:无穷数列{ a_n},其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列,

当n≥1时, 数列a_10n，a_10n+1,…，a_10(n+1)是公差为dⁿ的等差数列.        (9分)

研究的问题可以是:试写出a_10(n+1)关于d的关系式,并求a_10(n+1)的取值范围   (11分)

研究的结论可以是: 由a₄₀= a₃₀+10d³=10(1+d+d²+ d³),

依次类推可得  a_10(n+1)= 10(1+d+d²+…+ dⁿ)=    10·(d≠1),

                                          10(n+1)    (d=1)

当d>0时, a_10(n+1)的取值范围为(10, +∞)    (14分)