Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x_l=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（1）写出x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式（n≥3）；
（2）设a_n=x_n+1-x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，
（2）由题意知a₁=a，a₂=-

1

2

a，a₃=

1

4

a，由此推测：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）再进行证明．

解答：解：（1）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，则有
当n≥3时，x_n=

xn-1+xn-2

2

．
（2）a₁=x₂-x₁=a，a₂=x₃-x₂=

x2+x1

2

-x₂=-

1

2

（x₂-x₁）=-

1

2

a，
a₃=x₄-x₃=

x3+x2

2

-x₃=-

1

2

（x₃-x₂）=-

1

2

（-

1

2

a）=

1

4

a，
由此推测：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）．
证明如下：因为a₁=a＞0，且a_n=x_n+1-x_n=

xn+xn-1

2

-x_n=

xn-1-xn

2

=-

1

2

（x_n-x_n-1）
=-

1

2

a_n-1（n≥2），
所以a_n=（-

1

2

）^n-1a．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．