Question

22. 已知数列a_l，a₂…，a₃₀，其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列；

a_l0，a₁₁…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁…，a₃₀是公差为d²的等差数列(d≠0).

 

(1)若a₂₀=40，求 d；

 

(2)试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围;

 

(3)续写己知数列，使得a₃₀，a₃₁…，a₄₀是公差为d³的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题,[(2)应当作为特例],并进行研究，你能得到什么样的结论？

 

 

 

Answer 1

22.

 [解]

(1) a_l0=10,  a₂₀=10+10d=40,   ∴d=3                      

(2) a₃₀= a₂₀+10d=10(1+d+d²)  (d≠0)                         

a₃₀=10[(d+)²+],

当d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a₃₀∈[,+∞).                  

(3) 所给数列可推广为无穷数列{ a_n},其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列,

当n≥1时, 数列a_10n，a_10n+1,…，a_10(n+1)是公差为dⁿ的等差数列.

 

研究的问题可以是:试写出a_10(n+1)关于d的关系式,并求a_10(n+1)的取值范围  

研究的结论可以是: 由a₄₀= a₃₀+10d³=10(1+d+d²+ d³),

依次类推可得 

当d>0时, a_10(n+1)的取值范围为(10, +∞)