Question

A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东6千米处，C在B正北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．

Answer 1

思路分析：点P到B、C距离相等，因此点P在线段BC的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P的坐标，进而求炮击的方位角．

解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则

B（-3,0）、A（3,0）、C（-5,）.

    因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．

    因为k_BC=,BC中点D（-4，），

    所以直线PD：（x+4）                    ①

    又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．

    设P（x,y），则双曲线方程为=1（x≥0）          ②

    联立①②式，得x=8,y=,所以P（8,）．因此k_PA=．

    故炮击的方位角为北偏东30°.

方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．