Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，对于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据已知条件得到S_n-S_n-1=S_n-1，即，进而求出数列{S_n}的通项公式；再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出{b_n}的通项公式，再利用裂项求和法求出不等式左边的表达式即可求出m的取值范围．
解答：解：（1）∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_n-1，∴，
∴数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2．
∵a₁=1不适合上式，
∴数列的通项公式为
（2）当n∈N*，且n≥3时，b_n=n-2，，
∴恒成立，
∴m≥1．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式以及裂项求和法的应用．裂项求和法适用于数列的通项为分式形式，分子为常数，分母为一等差数列相邻两项的乘积．