Question

已知焦点在轴上的椭圆和双曲线的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为，设直线（其中为整数）.
（1）试求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）椭圆为： ，双曲线为：（2）存在，满足条件的直线共有9条.

试题分析：（1）将点代入即可求出椭圆的方程，通过椭圆的离心率求出双曲线的离心率，联立离心率和双曲线的方程，求出；（2）因为直线与椭圆交于不同两点，所以联立直线和椭圆方程，消去，整理方程即可.
试题解析：（1）将点代入解得
∴椭圆为： ，                                       （2分）
椭圆的离心率为∴双曲线的离心率为，              （3分）
∴，
∴双曲线为：                                        （6分）
（2）由消去化简整理得：
设，，则
     ①                     （8分）
由消去化简整理得：
设，，则
     ②                     （10分）
因为，所以，
由得：．
所以或．由上式解得或．
当时，由①和②得．因是整数，
所以的值为
当，由①和②得．因是整数，所以．
于是满足条件的直线共有9条．                                  （13分）