Question

已知抛物线C：与椭圆共焦点，

（Ⅰ）求的值和抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）若P为抛物线C上位于轴下方的一点，直线是抛物线C在点P处的切线，问是否存在平行于的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，且使？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在满足条件的直线.

试题分析：（Ⅰ）因为抛物线C：与椭圆共焦点，
所以抛物线C：的焦点为（1,0）       （1分）
所以得                                  （3分）
抛物线C的准线方程为                        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线C：
因为 P为抛物线C上位于轴下方的一点，
所以点P满足 ，                  
所以点处的切线的斜率为 
所以平行于的直线方程可设为             （6分）
解方程组，消去得：，（7分）
因为直线与抛物线C交于不同的两点A，B，
所以即， （8分）
设，则
， （10分）
所以线段AB的中点为，
线段AB的中垂线方程为    （12分）
由知点P在线段AB的中垂线上
所以   ，               （13分）
又得代人上式得 ，（14分）
而 且，所以无解.
从而不存在满足条件的直线.                            （15分）
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求抛物线准线方程时，主要运用了椭圆、抛物线的定义及几何性质。（2）作为研究直线与抛物线相交时弦长的范围问题，应用韦达定理，建立了k的不等式，进一步使问题得解。