Question

【题目】已知函数 ，其中ω＞0． （I）若对任意x∈R都有 ，求ω的最小值；
（II）若函数y=lgf（x）在区间 上单调递增，求ω的取值范围

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知f（x）在 处取得最大值，

∴ ；

解得 ，

又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为2；

（Ⅱ）解法一：∵ ，

∴ ，

又∵y=lgf（x）在 内单增，且f（x）＞0，

∴ ．

解得： ．

∵ ，∴ 且k∈Z，

又∵ω＞0，∴k=0，

故ω的取值范围是 ．

解法二：根据正弦函数的图象与性质，得 ，

∴ ，∴0＜ω≤4，

又y=lgf（x）在 内单增，且f（x）＞0，

∴ ；

解得： ；

可得k=0，所以ω的取值范围是

【解析】（Ⅰ）由题意知f（x）在 处取得最大值，令 ，求出ω的最小值；（Ⅱ）解法一：根据题意，利用正弦函数和对数函数的单调性，列出不等式求出ω的取值范围．

解法二：根据正弦函数的图象与性质，结合复合函数的单调性，列出不等式求出ω的取值范围．

【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．