Question

20．设数列{x_n}的通项为x_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{\sqrt{n}}，n为奇数}\\{\frac{1}{n}，n为偶数}\end{array}\right.$则{x_n}是（　　）

• A． 当n→∞时的无穷大量
• B． 当n→∞时的无穷小量
• C． 有界变量
• D． 无界变量

Answer 1

分析 {x_n}有界：存在M＞0，对于任意的n，有|x_n|≤M．这也称Xn是有界变量，极限：当n→∞时，有$\lim_{n→∞}$x_n=a，{x_n}有极限⇒{x_n}有界．反之，若{x_n}有界，则{x_n}未必有极限．

解答 解：当n为奇数时$\frac{n+1}{\sqrt{n}}$=$\sqrt{n}$+$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
设$\sqrt{n}$=x，设f（x）=x+$\frac{1}{x}$，当x≥1时，f（x）单调递增，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n+1}{\sqrt{n}}$=+∞，
即当n≥1，且为奇数时，当n→∞时的无穷大量
当n为偶数时，x_n=$\frac{1}{n}$，当n→∞，单调递减，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，
故选：D．

点评 本题考查了数列的函数的特性，以及有界变量，属于基础题．