Question

【题目】已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．

（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；

（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) t＝﹣2 (2) t≥1

【解析】

（1）由f（1）﹣g（1）＝0，即可求得t的值；

（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立t2x（x∈[0，15]）恒成立，令u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，通过配方法可求得2x的最大值，从而解决问题.

解：（1）由题意得f（1）﹣g（1）＝0，

即loga2＝2loga（2+t），解得t＝﹣2

（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，

即loga（x+1）≥loga（2x+t）（x∈[0，15]）恒成立，

它等价于2x+t（x∈[0，15]），即t2x（x∈[0，15]）恒成立

令u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，x＝u2﹣1，

2x＝﹣2（u2﹣1）+u＝﹣2，当u＝1时，2x的最大值为1，

∴t≥1