题目内容
已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.
(1)求证:-2<
<-1.
(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
(1)见解析 (2) [
,
)
【解析】(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,
又b+c=0,
则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0与已知矛盾.
因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)
=-(a+b)(2a+b)>0,
即(
+1)(+2)<0,从而-2<<-1.
(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
则x1+x2=-
,x1x2=-
,
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(-)2+4×=
·()2+
·+
=(+
)2+
.
∵-2<<-1,
∴≤(x1-x2)2<,
∴≤|x1-x2|<.
即|x1-x2|的取值范围是[,).
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