Question

（2012•洛阳模拟）(2x+

1

3 x

)n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x²的系数为

160

．

Answer 1

分析：由(2x+

1

3 x

)n的展开式中各项系数之和为729，知3ⁿ=729，解得n=6．再由（2x+

1

3 x

）⁶的通项公式为T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，能求出该展开式中x²的系数．

解答：解：∵(2x+

1

3 x

)n的展开式中各项系数之和为729，
令x=1，得3ⁿ=729，解得n=6．
∵（2x+

1

3 x

）⁶的通项公式为T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，
由6-

4

3

r=2，得r=3．
∴该展开式中x²的系数为26-3

C

3 6

=8×

6×5×4

3×2×1

=160．
故答案为：160．

点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．