Question

16．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{4}$的等比数列，其前n项和S_n中S₃=$\frac{3}{16}$，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出数列的公比，然后求解数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，利用裂项法求解T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，即可．

解答 解：（Ⅰ）若q=1，则${S_3}=\frac{3}{4}≠\frac{3}{16}$不符合题意，∴q≠1，…（1分）
当q≠1时，由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{{S_3}=\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=\frac{3}{16}}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$…（3分）
∴${a_n}=\frac{1}{4}•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}={（-\frac{1}{2}）^{n+1}}$…（5分）
（Ⅱ）∵${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}|{a_n}|={log_{\frac{1}{2}}}|{{{（-\frac{1}{2}）}^{n+1}}}|=n+1$…（7分）
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…（8分）
∴T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$…（10分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解前n项和的方法，是中档题．