Question

3．对函数f（x），当x∈（-∞，+∞）时，f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），证明：函数y=f（x）为周期函数．

Answer 1

分析 化简f（2-x）=f（2+x）可得f（-x）=f（4+x），再由f（7-x）=f（7+x）化简可得f（-x）=f（14+x）；从而可得f（x）=f（10+x）；从而证明．

解答 证明：∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（-x）=f（4+x），
又∵f（7-x）=f（7+x），
∴f（-x）=f（14+x）；
故f（4+x）=f（14+x）；
故f（x）=f（10+x）；
故10是函数f（x）的周期；
故函数y=f（x）为周期函数．

点评 本题考查了函数的周期性的证明，应用到了函数的对称性，属于基础题．