Question

过双曲线x2-

y2

3

=1的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q，则满足|PQ|=6的直线l的条数有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①当直线l与双曲线交于一支时，先求直线的斜率不存在时PQ=6是否满足条件，从而可判断直线的斜率存在时，PQ=6的直线是否存在
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k（x+2）．联立方程，利用方程的根与系数的关系及弦长公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

可求k，进而可判断满足条件的直线的个数

解答：解：①当直线l与双曲线交于一支时
若直线的斜率不存在时，直线方程为x=-2与双曲线的交点P（-2，3）Q（-2，-3），此时PQ=6满足条件
若直线的斜率存在时PQ＞6，不满足条件
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k（x+2）
联立方程

y=k(x+2) x2- y2 3 =1

整理可得（3-k²）x²-4k²x-（4k²+3）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则可得x1+x2=

4k2

3-k2

x1x2= -

4k2+3

3-k2

个PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 16k4 (3-k2) 2 + 16k2+12 3-k2

]=6
解可得，k=±1
故满足条件的直线有3条
故选：C

点评：本题主要考查了直线与双曲线的相交求弦长问题，要注意弦长公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

与方程的根与系数的关系的结合应用．