Question

过双曲线x2-

y2

3

=1的右焦点F作倾角为

π

4

的弦AB，求弦长|AB|及线段AB的中点C到F的距离．

Answer 1

分析：依题意可知AB的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式即可求得|AB|，利用韦达定理可求得线段AB的中点C的坐标，从而可求C到F的距离．

解答：解：∵双曲线的方程为x²-

y2

3

=1，
∴c²=1+3=4，
∴右焦点F（2，0），
∵过右焦点的倾斜角为

π

4

的直线与双曲线x²-

y2

3

=1交于A、B两点，
∴AB的方程为：y-0=（x-2），即y=x-2．
∴k_AB=1．
由

x2- y2 3 =1 y=x-2

得：2x²+4x-7=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程2x²+4x-7=0的两根，
由韦达定理得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

，
∴AB的中点C（-1，-3）；
∴由弦长公式得：|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+kAB2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(-2)2-4(- 7 2 )

=6．
∴|CF|=

(-1-2)2+(-3-0)2

=3

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查方程思想，考查弦长公式与韦达定理的应用，属于中档题．