Question

已知函数在上的最大值为
求数列的通项公式；
求证：对任何正整数，都有；
设数列的前项和，求证：对任何正整数，都有成立

Answer 1

（1）；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析.

试题分析：（1）判断在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，即可求得数列的通项公式；
（2）当时，欲证 ，只需证明， 
（3）利用（2）的结论得，再由对其进行放缩得：
，可得证.
（1）
             
当时，由知：   
                 
∵时，；时，；
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最大值，
即.   
（2）当时，欲证 ，
只需证明            
∵
.     
所以，当时，都有成立．
（3）

所以，对任意正整数，都有成立.