题目内容
15．已知{an}，{bn}是满足（1+$\sqrt{2}$）n=an+bn$\sqrt{2}$的两个无穷数列，推测an ，bn表示（1-$\sqrt{2}$）n的表达式，并加以证明．分析 利用二项式定理与数学归纳法即可证明．
解答 解：∵（1+$\sqrt{2}$）n=an+bn$\sqrt{2}$，
∴当n=1时，a1=1，b1=1．∴$1-\sqrt{2}$=a1-b1$\sqrt{2}$．
当n=2时，$（1+\sqrt{2}）^{2}$=3+2$\sqrt{2}$，可得a2=3，b2=2；∴$（1-\sqrt{2}）^{2}$=3-2$\sqrt{2}$=a2-b2$\sqrt{2}$．
推测an ，bn表示（1-$\sqrt{2}$）n=an-bn$\sqrt{2}$．
下面给出证明：由（1+$\sqrt{2}$）n=an+bn$\sqrt{2}$，可得$（1+\sqrt{2}）^{n+1}$=$（{a}_{n}+{b}_{n}\sqrt{2}）$$（1+\sqrt{2}）$=（an+2bn）+（an+bn）$\sqrt{2}$，
∴an+1=（an+2bn），bn+1=（an+bn）．
（1）当n=1时，$1-\sqrt{2}$=a1-b1$\sqrt{2}$成立；
（2）假设当n=k（k∈N*）时，$（1-\sqrt{2}）^{k}$=ak-bk$\sqrt{2}$．
则当n=k+1时，$（1-\sqrt{2}）^{k+1}$=（ak-bk$\sqrt{2}$）$（1-\sqrt{2}）$=（ak+2bk）-（ak+bk）$\sqrt{2}$=ak+1-bk+1$\sqrt{2}$．
因此当n=k+1时，命题成立．
综上可得：?n∈N*，（1-$\sqrt{2}$）n=an-bn$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了二项式定理与数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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