Question

已知f(x)=cos(2x-

π

3

)+4sin2x
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间即可求出函数f（x）的递增区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出函数的最小值与最大值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2（1-cos2x）=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x+2=

3

sin（2x-

π

3

）+2，
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z），
则函数的递增区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
则f_min（x）=

3

×（-

3

2

）+2=

1

2

，f_max（x）=

3

×1+2=

3

+2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．