题目内容

已知函数f（x）满足 $数学公式$ （其中 $数学公式$ 为f（x）在点 $数学公式$ 处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C；
（3）在（2）的条件下，若 $数学公式$ ，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ．
取 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
解之，得 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
从而 $\text{[math]}$ ，
列表如下：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是 $\text{[math]}$ 和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是 $\text{[math]}$
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ ；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，
等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数 $\text{[math]}$ 或C=1．
（3）由（2）知， $\text{[math]}$ 或f（x）=x³-x²-x+1．
而 $\text{[math]}$ ，所以f（x）=x³-x²-x+1．
令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．
∴所求封闭图形的面积= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出f（x）的导函数，令x= $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ 将其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表求出函数的单调区间．
（2）由（1）中的表，求出函数的极大值、极小值，令极大值等于0极小值等于0求出c的值．
（3）将C的值代入f（x），根据已知条件确定出f（x），令f（x）=0求出两个根，即函数与x的轴的两个交点，利用定积分求出函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
点评：解决函数的单调性问题，一般求出函数的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间；令导函数小于0求出函数的单调递减区间．