Question

【题目】对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.

（1）当时，求的值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将代入，结合定义可求得对称中心，进而可知.结合所求式子特征即可求解.

（2）将代入不等式，结合定义域可分离参数，构造函数，求得并令，求得极值点，即可由导函数符号判断函数的单调性，进而求得，即可确定的取值范围.

（1）函数，

当时，

因为，

∴，

令，解得，

则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，

所以，

所以，，…

则.

（2）∵，，

即，

又，

∴在上恒成立.

令.

∴.

∵，

令，得或（舍去）.

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

∴.

∴，

即的取值范围为.