Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）试求函数零点的个数，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求导得，分类讨论当和时，利用导函数研究函数的单调性；

（2）根据题意，当时，，函数有且只有一个零点；当时，利用零点存在性定理，得出在上有且只有一个零点；当时，根据零点存在性定理和单调性讨论零点个数，综合即可得出结论.

解：（1），

当时，在上单调递增，

当时，由，

得，

所以在单调递增，在上单调递减，

（2）时，，函数有且只有一个零点，

当时，因为，，

由根的存在定理可知，在上存在零点，

又因为在上单调递增，

从而在上有且只有一个零点.

当时，由（1）可知存在最大值，

且，

①若，即时，函数无零点，

②若，即时，函数有且只有一个零点，

③若，即时，

因为，

所以在上存在零点，

由（1）可知在单调递增，

所以在上有且只有一个零，

下面寻找，使得满足，且，

先证明若，则，

令，，

所以函数在单调递增，

所以，

所以，

所以当时，

，

令，解得，

取，

则，

又因为，

所以在存在零点，

由（1）可知在有且只有一个零点，

所以有且只有两零点，

综上，当或时函数有且只有一个零点，

当时，函数有且只有两个零点，

当时，函数无零点.