Question

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

3

（tanA-tanB）=1+tanA•tanB．
（1）若a²-ab=c²-b²，求A、B、C的大小；
（2）已知向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(cosB，sinB)，求|3

m

-2

n

|的取值范围．

Answer 1

分析：利用

3

（tanA-tanB）=1+tanA•tanB求出A-B的值，
（1）通过余弦定理求出C的大小，得到A+B的值，即可求解A，B的值．
（2）直接求解模的平方，通过向量的数量积，利用两角和正弦函数公式化简表达式，结合A，B，C的范围，求出正弦函数的范围，然后|3

m

-2

n

|的取值范围．

解答：解：因为

3

（tanA-tanB）=1+tanA•tanB，
所以tan(A-B)=

tanA-tanB

1+tanA•tanB

=

3

3

，
∴A-B=

π

6

．…（2分）
（1）因为a²+b²-2abcosC=c²，所以cosC=

1

2

，∴C=

π

3

，…（4分）
A+B=

2π

3

，又A-B=

π

6

，
∴A=

5π

12

，B=

π

4

．…（6分）
（2）因为向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(cosB，sinB)，
∴|3

m

-2

n

|2=13-12

m

• 

n

=13-12sin(A+B)=13-12sin(2A-

π

6

)…（8分）

0＜A＜ π 2 0＜B＜ π 2 0＜C＜ π 2

⇒

0＜A＜ π 2 0＜A- π 6 ＜ π 2 0＜π-2A+ π 6 ＜ π 2

⇒

π

6

＜A＜

π

2

．…（10分）

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，6＜12sina(2A-

π

6

)≤12，
1≤|3m-2n|＜

7

．…（12分）

点评：本题是中档题，考查两角和正切、正弦函数以及向量的数量积、模的求法，考查计算能力，转化思想．