Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面平面，且，为等边三角形，，，.与平面所成角的正弦值为.

（1）证明:平面；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）根据题意求出，从而可得，进而可得，利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）设的中点为，连接，则，分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

（1）平面平面，且，则平面

所以，因为，，为等边三角形，

所以，

又，，且，

所以平面，所以，

所以为与平面所成角，

在中，，

由,

则

所以，

解得，

在中，可得，

所以，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）设的中点为，连接，则，

由（1）知，

分别以为轴，建立空间直角坐标系

则，，，，

则，，

设平面的法向量为，

，令，，

设平面的法向量为，

则，令，，

设二面角的平面角为，

则.