题目内容

m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx）（ω＞0），
n
=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=
m
•
n
+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为
3π
2
，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，二倍角公式，化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+
π
6
）+t，根据
周期性和最小值，求出ω 和 t 的值，即得函数的解析式为f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1，由2kπ-
π
2
≤
2
3
x+
π
6
≤ 2kπ+
π
2
，求得x的范围，就是f（x）的增区间．
（2）据f（C）=1，求得C=
π
2
，A+B=
π
2
，再由 2sin2B=cos B+cos（A-C），可得 1-sin2A=sinA，再由sinA＞0
求得sinA 的值．
解答：解：（1）函数f（x）=
m
•
n
+t=cos2ωx+
3
sin2ωx+t=2sin（2ωx+
π
6
）+t，
由
3π
2
=
1
2
T=
1
2
•
2π
2ω
=
π
2ω
，可得ω=
1
3
，∴f（x）=2sin(
2
3
x+
π
6
)+ t．
当x∈[0，π]时，
π
6
≤ 
2
3
x+
π
6
≤
5π
6
，
函数f（x）的最小值为1+t=0，∴t=-1，∴f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1．
由 2kπ-
π
2
≤
2
3
x+
π
6
≤ 2kπ+
π
2
，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+
π
2
，
故f（x）的增区间为[3kπ-π，3kπ+
π
2
]，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（
2C
3
+
π
6
 ）-1，∴sin（
2C
3
+
π
6
）=1，由 0＜C＜π 可得，
 
π
6
＜
2C
3
+
π
6
＜
5π
6
，∴
2C
3
+
π
6
=
π
2
，∴C=
π
2
，A+B=
π
2
． 
又 2sin2B=cos B+cos（A-C），∴2sin2(
π
2
-A)=cos（
π
2
-A）+cos（A-
π
2
），
∴2cos2A=2sinA，即 1-sin2A=sinA，再由sinA＞0，求得sinA=
-1+
5
2
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，二倍角公式，两角和正弦公式，正弦函数的单调性，定义域和值域，根据
三角函数的值求角，求出函数f（x）的 解析式，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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已知
m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx），
n
=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=
m
•
n
，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于
π
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．
已知
m
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
n
=（cosωx-sinωx，
3
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
m
•
n
且f(
π
3
-x)=f(x)，f（x）在（0，
π
3
）内有最大值无最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=1，其面积S△ABC=
3
，求△ABC周长的最小值．
向量m=（sinωx+cosωx，cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．

已知函数f（x）=m·n，其中m=（sinωx+cosωx，cosωx），n=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），若f（x）相邻两对称轴间的距离小于。
（1）求ω的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积。