Question

13．已知a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=5，则a+b的取值范围是[1，4]．

Answer 1

分析 a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=5，利用基本不等式的性质可得：5=（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$≥（a+b）$[1+\frac{1}{\frac{（a+b）^{2}}{4}}]$，当且仅当a=b=2或$\frac{1}{2}$时取等号．令a+b=t，化为：（t-1）（t-4）≤0，解出即可得出．

解答 解：∵a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=5，
则5=（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$≥（a+b）$[1+\frac{1}{\frac{（a+b）^{2}}{4}}]$，当且仅当a=b=2或$\frac{1}{2}$时取等号．
令a+b=t，
化为：（t-1）（t-4）≤0，解得1≤t≤4．
∴a+b的取值范围是[1，4]．
故答案为：[1，4]．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．