Question

设f(x)=

ln(1+x)

x

(x＞0)
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；
（Ⅲ）求证：(1+

1

n

)n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）已知f（x），构造新的函数g（x），利用导数求函数单调的方法步骤；
（2）将ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立等价于ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，构造新的函数h（x）=ln（1+x）-ax，x∈[0，+∞），依题意，我们所要求的a的取值范围，需要满足以下条件：能够使得h（x）在[0，+∞）上单调递减．
（3）由（2）可知

ln(1+x)

x

＜1在（0，+∞）上恒成立，可以得到(1+x)

1

x

＜e，只需令

1

x

=n，即可．

解答：证明：（1）∵f(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
设g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，(x≥0)．
∴g′(x)=

1+x-x

(1+x)2

-

1

1+x

=

1-(1+x)

(1+x)2

=

-x

(1+x)2

≤0，
∴y=g（x）在[0，+∞）上为减函数．
∴g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)≤g(0)=0，
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

＜0，
∴函数f(x)=

ln(1+x)

x

在（0，+∞）上为减函数．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=ln（1+x）-ax，则h（0）=0，
∴h′(x)=

1

1+x

-a，
若a≥1，则x∈[0，+∞）时，h′(x)=

1

1+x

-a≤0恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数
∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0显然不满足条件，
若0＜a＜1，则h′(x)=

1

1+x

-a=0时，x=

1

a

-1，
∴x∈[0，

1

a

  时h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，

1

a

  上为增函数，
当x∈[0，

1

a

  时，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知

ln(1+x)

x

＜1在（0，+∞）上恒成立，
∴ln(1+x)

1

x

＜1，即(1+x)

1

x

＜e，
取

1

x

=n，即可证得(1+

1

n

)n＜e对一切正整数n成立．

点评：本题综合性较强，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上三个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点．