题目内容
已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-1，
）．（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα，求函数g（x）=
f（
-2x）-2f2（x）+1在区间[0，
]上的取值范围．
【答案】分析：（I）根据三角函数的定义，求出sinα、cosα和tanα的值，结合二倍角正弦公式代入，可得sin2α-tanα的值；
（II）由两角和的余弦公式，化简得f（x）=cosx，再代入g（x）表达式，结合诱导公式、二倍角余弦公式和辅助角公式化简，可得g（x）=2sin（2x-
），由此结合正弦函数的图象与性质，不难得到g（x）在区间[0，
]上的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边经过点P（-1，
），所以|OP|=
=2
∴sinα=
，cosα=-
，tanα=
=-
------------（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×
×（-
）-（-
）=
----------（6分）
（2）f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα=cos[（x+α）-α]=cosx，--------（8分）
∴g（x）=
f（
-2x）-2f2（x）+1=
cos（
-2x）-2cos2x+1
=
sin2x-cos2x-1=2sin（2x-
），----（10分）
∵x∈[0，
]，2x∈[0，
]，∴2x-
∈[-
，
]
∴当x=0时，sin（2x-
）=-
为最小值；当x=
时，sin（2x-
）=1为最大值
即g（x）=2sin（2x-
）-1的最小值为g（0）=-1；最小值为g（
）=2．
所以函数g（x）=
f（
-2x）-2f2（x）+1在区间[0，
]上的取值范围是[-1，2]．-------（12分）
点评：本题根据三角函数的定义，求α的正弦、余弦和正切值，求三角式的值并求另一个函数在闭区间上的取值范围，着重考查了三角函数的定义、和与差的三角函数公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质和辅助角公式等知识，属于中档题．
（II）由两角和的余弦公式，化简得f（x）=cosx，再代入g（x）表达式，结合诱导公式、二倍角余弦公式和辅助角公式化简，可得g（x）=2sin（2x-
），由此结合正弦函数的图象与性质，不难得到g（x）在区间[0，
]上的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边经过点P（-1，
），所以|OP|=
=2∴sinα=
，cosα=-
，tanα=
=-
------------（3分）∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×
×（-
）-（-
）=
----------（6分）（2）f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα=cos[（x+α）-α]=cosx，--------（8分）
∴g（x）=
f（
-2x）-2f2（x）+1=
cos（
-2x）-2cos2x+1=
sin2x-cos2x-1=2sin（2x-
），----（10分）∵x∈[0，
]，2x∈[0，
]，∴2x-
∈[-
，
]∴当x=0时，sin（2x-
）=-
为最小值；当x=
时，sin（2x-
）=1为最大值即g（x）=2sin（2x-
）-1的最小值为g（0）=-1；最小值为g（
）=2．所以函数g（x）=
f（
-2x）-2f2（x）+1在区间[0，
]上的取值范围是[-1，2]．-------（12分）点评：本题根据三角函数的定义，求α的正弦、余弦和正切值，求三角式的值并求另一个函数在闭区间上的取值范围，着重考查了三角函数的定义、和与差的三角函数公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质和辅助角公式等知识，属于中档题．
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