在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴.取相同的单位长度建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$cos� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于A，B两点，求|AB|的长．

分析（1）把ρ=2$\sqrt{3}$cosθ化为${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程化为直角坐标方程，由（1）求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，代入弦长公式求出|AB|．

解答解：（1）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ得${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴曲线C的直角坐标方程是：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0$；…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$得，x+y-2-$\sqrt{3}$=0，
由（1）得圆的方程是${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0$，
则圆心坐标是（$\sqrt{3}$，0）、半径r=$\sqrt{3}$，
∴圆心（$\sqrt{3}$，0）到直线x+y-2-$\sqrt{3}$=0的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-0-2-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2．…（10分）

点评本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆相交时的弦长公式，属于中档题．

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