Question

（2013•浙江模拟）数列{a_n}的前n项和Sn=

n2

an+b

，若a1=

1

2

，a2=

5

6

．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

n2+n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}的前n项和Sn=

n2

an+b

，a1=

1

2

，a2=

5

6

，建立方程，求出a，b的值，即可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）利用Sn=

n2

an+b

，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）求得数列{b_n}的通项，利用裂项法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由S1=a1=

1

2

，得

1

a+b

=

1

2

，由S2=a1+a2=

4

3

，得

4

2a+b

=

4

3

．
∴

a+b=2 2a+b=3

，解得

a=1 b=1

，故Sn=

n2

n+1

；               …（4分）
（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n2

n+1

-

( n-1 )2

n

=

n3-( n-1 )2(n+1)

n(n+1)

=

n2+n-1

n2+n

．…（7分）
由于a1=

1

2

也适合an=

n2+n-1

n2+n

．                           …（8分）
∴an=

n2+n-1

n2+n

；                                         …（9分）
（3）bn=

an

n2+n-1

=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

．                     …（10分）
∴数列{b_n}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．                                 …（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．