Question

如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，∠BCG=30°．
（1）求证：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分别是EB，CD的中点，求证MN∥平面EAD．
（3）若AD= ，求三棱锥F﹣EGC的体积．

Answer 1

证明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，
又平面ADE⊥平面ABCD，
且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD． 
（2）取AE中点H，连接DH，
∵MH= AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四边形MHDN为平行四边形，
∴MN∥DH，
又MN平面EAD，DH平面ADE，
∴MN∥平面EAD．
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，
即底面CGF的高为EG，且GE= ，
又在直角三角形EGC中，
由GE= ，得CG= ，
∴DC=2 ．
∴S_△CGF=2 × ﹣ × ×2 ﹣ × ×  = ，
∴VF﹣EGC=VC﹣EGF = × ×  =