Question

如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，∠BCG=30°．
（1）求证：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分别是EB，CD的中点，求证MN∥平面EAD．
（3）若AD=

6

，求三棱锥F-EGC的体积．

Answer 1

分析：（1））△ADE是正三角形，G是AD的中点，可证EG⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理可得EG⊥平面ABCD；
（2）取AE中点H，连接DH，可证四边形MHDN为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证得MN∥平面EAD；
（3）将求V_F-EGC转化为求V_C-EGF即可．

解答：证明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，又平面ADE⊥平面ABCD，且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD．   …（4分）
（2）取AE中点H，连接DH，
∵MH=

1

2

AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四边形MHDN为平行四边形，
∴MN∥DH，又MN?平面EAD，DH?平面ADE，
∴MN∥平面EAD．…（8分）
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，即底面CGF的高为EG，且GE=

3 2

2

，
又在直角三角形EGC中，由GE=

3 2

2

，得CG=

3 6

2

，
∴DC=2

3

．
∴S_△CGF=2

3

×

6

-

1

2

×

6

2

×2

3

-

1

2

×

6

×

3

=

9 2

4

，
∴V_F-EGC=V_C-EGF
=

1

3

×

9 2

4

×

3 2

2

=

9

4

 …（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，考棱锥的体积，掌握线面平行与线面垂直的判定定理是解决问题的基础，熟练掌握体积轮换公式是求几何体体积常用的方法，属于中档题．