题目内容
【题目】已知定义域为
的函数
对任意实数
，
满足：
，且
，
，并且当
时，
.给出如下结论：①函数是偶函数；②函数在
上单调递增；③函数是以2为周期的周期函数；④
.其中正确的结论是（ ）
A.①②B.②③C.①④D.③④
【答案】B
【解析】
①令y=-x,利用函数的奇偶性定义和题中关系式,可推导出f(-x)=-f(x)的关系是奇函数非偶函数;②令
,利用函数单调性定义和题中关系式,可判断f(x1)>f(x2)可得为增函数;③由题中关系式用x+2代x,-x代y,可推导f(x+2)=f(x);④利用函数周期性将f(
)化简为f(
).
令
，可得
，∴
，函数
是奇函数，故①不正确；
设
，则∵当
时，
，
∴
，∴
，∴函数在
上单调递增，故②正确；
∵
，∴
，
∴函数是以2为周期的周期函数，故③正确；
∵
，故④不正确；
综上所述：答案为B.
故选:B
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