Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+3n+2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+1=a_n+3n+2ⁿ可知a_n+1-a_n=3n+2ⁿ，进而可知a_n-a_n-1=3（n-1）+2^n-1、a_n-1-a_n-2=3（n-2）+2^n-2、…、a₂-a₁=3+2¹，累加计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+3n+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=3n+2ⁿ，
∴a_n-a_n-1=3（n-1）+2^n-1，a_n-1-a_n-2=3（n-2）+2^n-2，…，a₂-a₁=3+2¹，
累加得：a_n-a₁=3•$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=$\frac{3}{2}$n（n-1）+2ⁿ-2，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{3}{2}$n（n-1）+2ⁿ-2+a₁=$\frac{3}{2}$n（n-1）+2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．