Question

16．在命题：①y=2${\;}^{\frac{1}{x-1}}$的值域是（0，+∞）；②y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域是[0，1]；③y=x+$\sqrt{x+3}$的值域[-3，+∞）；④y=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]中，错误命题的个数有（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对四个函数分别求值域，即可得出结论．

解答 解：①∵$\frac{1}{x-1}$≠0，∴y=2${\;}^{\frac{1}{x-1}}$的值域是（0，1）∪（1，+∞），不正确；
②∵0≤1-x²≤1，∴y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域是[0，1]，正确；
③设t=$\sqrt{x+3}$（t≥0），则y=x+$\sqrt{x+3}$=t²-3+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{13}{4}$≥-3，∴y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域[-3，+∞），正确；
④令x=cosα（0≤α≤π），y=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+45°），∴y=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，正确，
故选：A．

点评 本题考查函数值域，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．