Question

9．已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折叠，使平面ADE⊥平面ABCE．
（1）求证：BE⊥AD；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，求直线AC与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，利用面面垂直的性质定理证明BE⊥平面ADE，即可证明BE⊥AD；
（2）连接AC，令AC∩BE=P，连接DP，则∠APD为直线AC与平面BDE所成角．

解答 （1）证明：∵在矩形ABCD中，
AB=2，AD=1，E为CD的中点，
∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，
∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD；
（2）解：连接AC，令AC∩BE=P，连接DP，则∠APD为直线AC与平面BDE所成角．
△ACD中，AD=2，AC=$\sqrt{20}$，CD=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cos∠DAP=$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．
在Rt△APD中，sin∠APD=cos∠DAP=$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．
∴直线AC与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．

点评 熟练掌握线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角的定义、余弦定理是解题的关键．