Question

已知二次函数f（x）=-2x²+2x，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（2）令bn=

1

2

-an，试证明数列{lgb_n+lg2}是等比数列
（3）已知，记S_n=log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)，是否存在非零整数λ，使S_n2ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1对任意的n∈N^*恒成立？如果存在，求出λ的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0，即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0⇒a_n∈（0，

1

2

）．所以对一切n∈N^*，均有a_n∈（0，

1

2

）且a_n+1-a_n＞0，所以数列{a_n}在区间（0，

1

2

）上是递增数列．
（2）由a_n∈（0，

1

2

），知

1

2

-an∈(0，

1

2

），所以

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2．令b_n=

1

2

-an，则有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，所以lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），故数列{lgb_n+lg2}是lgb₁+lg2=lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列．    
（3）由（2）得b_n=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，所以log₃（

1

1 2 -an

）．故log₃（

1

1 2 -a1

）=nlog₃2+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1，所以2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立．由此能求出λ的值．

解答：解：（1）若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，
则a_n+1-a_n＞0，
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0，
∴a_n∈（0，

1

2

）（2分）
又当a_n∈（0，

1

2

），n≥1时，
a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n=-2a_n（a_n-1）∈(0，

1

2

)，
所以对一切n∈N^*，均有a_n∈（0，

1

2

），
且a_n+1-a_n＞0，（3分）
所以数列{a_n}在区间（0，

1

2

）上是递增数列．…（4分）
（2）由（1）知a_n∈（0，

1

2

），
从而

1

2

-an∈(0，

1

2

）；

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，
即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；
令b_n=

1

2

-an，
则有b_n+1=2b_n²且b_n∈（0，

1

2

）；
从而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，（7分）
可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以数列{lgb_n+lg2}是lgb₁+lg2=lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列． （8分）
（3）由（2）得lgb_n+lg2=lg

1

3

•2n-1=lg(

1

3

)2n-1，
即lgb_n=lg

( 1 3 )2n-1

2

，
所以 b_n=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，
所以

1

1 2 -an

=

1

bn

=2•32n-1，
所以log₃（

1

1 2 -an

，（10分）
所以，log₃（

1

1 2 -a1

）=nlog₃2+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1．（11分）
即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，
所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立
当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值1为．
∴λ＜1
当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，
当且仅当n=2时，有最大值-2为．
∴λ＞-2（13）
所以，对任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．
又λ非零整数，
∴λ=-1（14分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，用两边夹的方法确定整数参数．第Ⅲ小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．