Question

【题目】已知椭圆的左右顶点为，为椭圆上异于的动点，设直线的斜率分别为，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）当椭圆内切于圆时，设动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，若，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在最小值为，理由见详解.

【解析】

（1）设出点的坐标，根据斜率关系结合点在椭圆上，即可求得关系，则离心率得解；

（2）由椭圆和圆的位置关系，即可求得椭圆方程，设出直线的方程，根据向量关系，求得关系，再根据三角形面积公式，即可求得结果.

（1）不妨设的坐标为，则；

又，

则.

故可得，则；

（2）因为椭圆内切于圆，故容易得，结合（1）中所求，

即可容易求得.

故可得椭圆方程为，

①若直线斜率不为零，不妨设其方程为，

联立椭圆方程可得：

，

则，

整理得

设点的坐标为，

故可得

.

因为，故可得，

即可得，

则.结合，可得，

故.

又

故可得

将代入上式可得：

，令

则，

当且仅当时取得最小值.

②当直线的斜率为零时，设直线为，

联立椭圆方程可得，

则容易知，

故，

令，

，显然此时没有最小值.

综上所述，的面积存在最小值，最小值为.