Question

【题目】设点是抛物线的焦点，、是上两点.若，且线段的中点到轴的距离等于.

（1）求的值；

（2）设直线与交于、两点且在轴的截距为负，过作的垂线，垂足为，若.

（i）证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；

（ii）求点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）证明见解析；定点（ii）（且）

【解析】

（1）过和分别作轴的垂线，垂足分别为、，根据抛物线的定义得到，，利用建立p的方程，再根据线段的中点到轴的距离等于，有联立求解.

（2）设的方程为，与抛物线方程联立，由得到，将韦达定理代入，解得，（i）直线恒过定点.（ii）由知，点在以为直径的圆上，再根据和斜率存在确定范围.

（1）过和分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，

因为线段的中点到轴的距离等于，

所以，即，

又因为，所以.

（2）由题意知直线的斜率存在，设的方程为，代入抛物线方程得，

由得，（*），

设，，则.

由得，，即，

把代入得，解得或（舍去），

（i）于是直线恒过定点.

（ii）由知，所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为，

根据（*）得，从而取圆在轴的上方部分，又直线的斜率存在，

因此应剔除与轴的交点，

故点的轨迹方程为（且）.