Question

已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，AD⊥CD，AD=AB=1，CD=BC=

3

，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF、DE得到几何体（如图2）．
（1）证明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：以B为坐标原点，分别以BF，BC，BA为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知条件与平面向何知识得：
A（0，0，1），F（1，0，0），D（0，

3

2

，

3

2

），E（

3

2

，

3

2

，0），
∴

AF

=（1，0，-1），

DE

=(

3

2

，0，-

3

2

)，
∴

AF

=

2

3

DE

，∴AF∥DE，
又DE?平面DCE，且AF不包含平面DCE，
∴AF∥平面DEC．
（2）由（Ⅰ）得A、D、E、F四点共面，

AF

=(1，0，-1)，

AD

=(0，

3

2

，

1

2

)，
设平面ADEF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AF =x-z=0 n • AD = 3 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=-1，得

n

=(

3

，-1，

3

)，
由已知得平面ABCD的一个法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

7

=

21

7

，
∴二面角E-AD-B的余弦值为

21

7

．