Question

函数f（x）的定义域为R，f（1）=1，对任意x∈R，f′(x)＜

1

2

，则f(lgx)＜

lgx+1

2

的解集为（　　）

A、（-∞，1）

B、（0，1）

C、（1，10）

D、（10，+∞）

Answer 1

分析：先令g（x）=f（x）-

1

2

x，则原不等式就化为g（x）＜g（1）．再利用导数研究g（x）的单调性，即可得出答案．

解答：解：令g（x）=f（x）-

1

2

x，
原不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

就化为g（lgx）＜g（1）；
∵g'（x）=f'（x）-

1

2

，且f′(x)＜

1

2

，
所以g'（x）＜0，g（x）在R上是减函数，
∴原不等式化为：lgx＞1，
所以，解集是：x＞10；
故选D．

点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．