题目内容

椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，长轴长为12，直线y=kx-4与椭圆交于A，B，弦AB的长为 $数学公式$ ，求此直线的斜率．

解：由长轴长为12，得a=6，由离心率为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得c= $\text{[math]}$ ，所以b²=a²-c²=36-27=9，
所以椭圆方程为： $\text{[math]}$ ，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），由 $\text{[math]}$ ，消掉y得（1+4k²）x²-32kx+28=0，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
△=（32k）²-4×28（1+4k²）=16（36k²-7），
|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
解得k= $\text{[math]}$ ，经验证△＞0成立，
故直线斜率为： $\text{[math]}$ ．
分析：根据长轴长及离心率可求出椭圆方程，根据弦长公式可用k表示出弦长，令其为 $\text{[math]}$ ，解出即可，注意检验．
点评：本题考查椭圆方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查学生的运算能力，本题属中档题．

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