Question

【题目】如图，在几何体中，底面四边形是边长为4的菱形，，，，平面，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2) .

【解析】

(1)由题意结合线面垂直的性质定理和勾股定理可证得平面，然后结合面面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(2)利用线面平行进行等价转化可知，将原问题转化为求解四棱锥体积的问题，然后求得三棱锥的高即可确定其体积.

（1）因为平面，所以，

又，，所以平面，

所以.

因为四边形是边长为4的菱形，，

所以与均为等边三角形，.

所以，，，

则，

所以，

又，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为，平面，平面，

所以平面，

所以，

取的中点，连接，则，，

由平面，所以，又，

所以平面.

所以 .

即三棱锥的体积为.