Question

定义在区间[2，4]上的函数f(x)＝3^x－m(m是常数)的图象过点(2，1)，则函数F(x)＝[f^－1(x)]²－f^－1(x²)的值域为

[　　]

A．[2，5]

B．[1，＋∞)

C．[2，10]

D．[2，13]

Answer 1

答案：A
解析：

先由条件求出m，再求f(x)的反函数，注意f(x)的定义域．由条件可知，32－m＝1，∴m＝2，∴f(x)＝3x－2，f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)． 　　∴F(x)＝(log3x＋2)2－(log3x2＋2) 　　＝log＋2log3x＋2(1≤x≤3) 　　＝(log3x＋1)2＋1，故当x＝1时，F(x)min＝2； 　　当x＝3时，F(x)max＝5．∴F(x)的值域为[2，5]．

提示：

指数函数与对数函数互为反函数，由y＝3x－2，得x－2＝log3y，∴x＝log3y＋2．交换x，y的位置得f(x)的反函数f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)．反函数的定义域是原函数的值域，应注意．求已知函数的反函数要求不多，学习时要适可而止．关于f(x)的定义域是由1≤x≤9，且1≤x2≤9，即1≤x≤3，不是1≤x≤9，做题时要特别注意．