Question

定义在区间[2，4]上的函数f（x）=3^x-m，（m为常数）的图象过点（2，1），设f（x）的反函数是f^-1（x），则函数F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为

[2，5]

．

Answer 1

分析：先根据函数过点（2，1）求出m的值，从而求出f（x），然后求出反函数f^-1（x），求出F（x）的解析式和定义域，然后求出值域即可．

解答：解：根据函数f（x）=3^x-m（m是实常数）的图象过点（2，1），
可知f（2）=3^2-m=1，解得m=2
∴f（x）=3^x-2
f^-1（x）=2+log₃x  （x∈[1，9]）
f^-1（x²）=2+2log₃x  （x∈[1，3]）
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x ）²-2-2log₃x 
=（log₃x ）²+2log₃x+2  （log₃x∈[0，1]
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为[2，5]
故答案为：[2，5]

点评：本题主要考查了函数的解析式，以及指数函数的反函数，同时考查了利用二次函数研究函数的值域，属于中档题．