Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为，以顶点A为球心，2半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于

    A．   B．     C．π    D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，

所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；

另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．

在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2×  ，AA₁=1，

则∠A₁AE=π/6．同理∠BAF=π/ 6 ，所以∠EAF=π/ 6 ，

故弧EF的长为：2×  ×π /6 = π，

而这样的弧共有三条．

在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，

此时，小圆的圆心为B，半径为，∠FBG=π/ 2 ，

所以弧FG的长为：×π/2 = π  ．

这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为：

3× π+3× π  =π  ．

故答案为A