Question

已知动圆M过定点F（0，-

2

），且与直线y=

2

相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点为F，点A（1，

2

）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心M的轨迹Γ的方程及椭圆N的方程；
（2）若动直线l与轨迹Γ在x=-4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B，C两点，试求当△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，-

2

）为焦点，直线y=

2

为准线的抛物线，由此可得轨迹Γ的方程；设出椭圆方程，利用点A（1，

2

）在椭圆N上，可得椭圆N的方程；
（2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得|BC|，点A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

解答：解：（1）过圆心M作直线y=

2

的垂线，垂足为H．
由题意得，|MH|=|MF|，由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，-

2

）为焦点，直线y=

2

为准线的抛物线，
其方程为x2=-4

2

y．
设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，将点A代入方程

2

a2

+

1

a2-2

=1
整理得a⁴-5a²+4=0，解得a²=4或a²=1（舍去）
故所求的椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）轨迹Γ的方程为x2=-4

2

y，即y=-

1

4 2

x2，则y′=-

1

2 2

x，所以轨迹轨迹Γ在x=-4处的切线斜率为k=

2

，
设直线l方程为y=

2

x+m，代入椭圆方程整理得4x²+2

2

mx+m²-4=0
因为△=8m²-16（m2-4）＞0，解得-2＜m＜2；
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

所以BC|=

3

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

×

4- 1 2 m2

∵点A到直线的距离为d=

|m|

3

，所以S_△ABC=

1

2

×

3

×

4- 1 2 m2

×

|m|

3

=

2

2

×

(4- 1 2 m2)× m2 2

≤

2

当且仅当4-

1

2

m2=

1

2

m2，即m=±2时等号成立，此时直线l的方程为y=

2

x±2．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．