题目内容

已知动圆M过定点F（0，- $数学公式$ ），且与直线y= $数学公式$ 相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点为F，点A（1， $数学公式$ ）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心M的轨迹Γ的方程及椭圆N的方程；
（2）若动直线l与轨迹Γ在x=-4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B，C两点，试求当△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

解：（1）过圆心M作直线y= $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为H．
由题意得，|MH|=|MF|，由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，- $\text{[math]}$ ）为焦点，直线y= $\text{[math]}$ 为准线的抛物线，
其方程为 $\text{[math]}$ ．
设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，将点A代入方程 $\text{[math]}$
整理得a⁴-5a²+4=0，解得a²=4或a²=1（舍去）
故所求的椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）轨迹Γ的方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以轨迹轨迹Γ在x=-4处的切线斜率为k= $\text{[math]}$ ，
设直线l方程为y= $\text{[math]}$ x+m，代入椭圆方程整理得4x²+2 $\text{[math]}$ mx+m²-4=0
因为△=8m²-16（m2-4）＞0，解得-2＜m＜2；
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
所以BC|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
∵点A到直线的距离为d= $\text{[math]}$ ，所以S_△ABC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即m=±2时等号成立，此时直线l的方程为y= $\text{[math]}$ x±2．
分析：（1）由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，- $\text{[math]}$ ）为焦点，直线y= $\text{[math]}$ 为准线的抛物线，由此可得轨迹Γ的方程；设出椭圆方程，利用点A（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆N上，可得椭圆N的方程；
（2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得|BC|，点A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得△ABC面积取到最大值时直线l的方程．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．